تقاطع الأوتار والقواطع داخل الدائرة

---

✅ مراجعة المفاهيم الأساسية

• • خط مستقيم يلتقي مع الدائرة في نقطة واحدة فقط
• • هذه النقطة تسمى نقطة التماس

• • قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على محيط الدائرة
• • لا يمتد خارج الدائرة

• • مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين
• • هو امتداد للوتر من الجهتين
• • يمتد خارج الدائرة

---

✅ الفرق بين الوتر والقاطع

| الوتر | القاطع |

|-------|---------|

| قطعة مستقيمة محدودة | خط مستقيم غير محدود |

| ينتهي عند نقطتي التقاطع | يمتد خارج الدائرة |

| جزء من القاطع | امتداد للوتر |

---

✅ نظرية تقاطع الأوتار/القواطع داخل الدائرة

إذا تقاطع وتران أو قاطعان داخل الدائرة، فإن:

$$\text{قياس الزاوية} = \frac{\text{القوس الأول} + \text{القوس المقابل}}{2}$$ $$\angle 1 = \frac{\text{القوس } AB + \text{القوس } CD}{2}$$ $$\angle 2 = \frac{\text{القوس } AC + \text{القوس } BD}{2}$$ ملاحظة: الزاويتان المتقابلتان متساويتان، لذلك:

• • $\angle 1 = \angle 3$ (زاويتان متقابلتان)
• • $\angle 2 = \angle 4$ (زاويتان متقابلتان)

---

✅ مثال 1: تقاطع وترين---

✅ مثال 2: تقاطع قاطعين---

✅ مثال 3: حل عكسي - إيجاد قياس القوس

• • وتران AB و CD يتقاطعان في النقطة P داخل الدائرة
• • الزاوية ∠APC = 65°
• • القوس AC = 50°

المطلوب: أوجد قياس القوس BD تطبيق النظرية: $$∠APC = \frac{\text{القوس } AC + \text{القوس } BD}{2}$$ التعويض: $$65° = \frac{50° + \text{القوس } BD}{2}$$ الضرب في 2: $$130° = 50° + \text{القوس } BD$$ حل المعادلة: $$\text{القوس } BD = 130° - 50° = 80°$$ النتيجة: قياس القوس BD = 80°

---

✅ مثال 4: مسألة تطبيقية

في ساعة دائرية، يتقاطع عقربا الساعة والدقائق في مركز الساعة. في لحظة معينة:

• • عقرب الساعات يشير إلى زاوية تقطع قوساً = 30° من 12
• • عقرب الدقائق يشير إلى زاوية تقطع قوساً = 180° من 12

المطلوب: أوجد الزاوية بين العقربين الفهم: العقربان يتقاطعان في المركز (داخل الدائرة) الأقواس:

• • القوس من عقرب الساعات إلى عقرب الدقائق = |180° - 30°| = 150°
• • القوس المقابل = 360° - 150° = 210°

تطبيق النظرية: $$\text{الزاوية بين العقربين} = \frac{150° + 210°}{2} = \frac{360°}{2} = 180°$$ ملاحظة: هذا يعني أن العقربين على خط مستقيم واحد (زاوية مستقيمة)

---

✅ تمارين للحل

وتران PQ و RS يتقاطعان في النقطة T داخل دائرة. إذا كان:

• • القوس PR = 70°
• • القوس QS = 110°

أوجد قياس الزاوية ∠PTR.

قاطعان يتقاطعان داخل دائرة مكونين زاوية قياسها 85°. إذا كان أحد الأقواس المتقابلة = 60°، أوجد قياس القوس الآخر.

في دائرة، وترين متعامدين (يتقاطعان بزاوية 90°). إذا كان أحد الأقواس المتقابلة = 130°، أوجد قياس القوس الآخر المتقابل.

---

✅ ملاحظات مهمة

1. 1. التقاطع داخل الدائرة (وليس خارجها)
2. 2. خطان مستقيمان (وترين أو قاطعين)
3. 3. كل خط يقطع الدائرة في نقطتين

• • إذا كان مجموع القوسين = 180° ← الزاوية = 90° (زاوية قائمة)
• • إذا كانت الأقواس متساوية ← الزاوية = قياس أحد الأقواس
• • الزاويتان المتقابلتان متساويتان دائماً

❌ خطأ: استخدام النظرية للتقاطع خارج الدائرة

❌ خطأ: جمع جميع الأقواس

---

✅ الخلاصة

نظرية تقاطع الأوتار/القواطع داخل الدائرة: $$\boxed{\text{قياس الزاوية} = \frac{\text{مجموع القوسين المتقابلين}}{2}}$$

هذه النظرية أداة قوية لحل مسائل الدوائر وتطبيقاتها في الحياة العملية مثل:

• • تصميم العجلات والتروس
• • حسابات الساعات والبوصلات
• • تحليل الحركة الدورانية