الانعكاس حول مستقيم

التحويلات الهندسية - المرايا الرياضية

---

✅ تعريف الانعكاس حول مستقيم

الانعكاس حول مستقيم هو تحويل هندسي ينتج عنه صورة مرآة للشكل الأصلي، حيث يكون المستقيم بمثابة المرآة.

• • يحافظ على المسافات والأطوال
• • يحافظ على الزوايا والأشكال
• • يغير الاتجاه (من اليمين لليسار أو العكس)
• • المسافة من النقطة إلى المرآة = المسافة من المرآة إلى الصورة

---

✅ حالات الانعكاس

#### القاعدة:

إذا كانت النقطة على محور الانعكاس، فإن انعكاسها هو النقطة نفسها

#### مثال:

إذا كان محور الانعكاس هو المحور السيني، والنقطة $(3, 0)$ عليه:

انعكاس $(3, 0)$ = $(3, 0)$ (نفس النقطة)

---

#### الطريقة:

1. 1. ارسم خطاً عمودياً من النقطة إلى محور الانعكاس
2. 2. احسب المسافة من النقطة إلى المحور
3. 3. اكمل نفس المسافة على الجهة الأخرى من المحور
4. 4. النقطة الجديدة هي الانعكاس

#### الشرط:

المسافة من النقطة الأصلية للمحور = المسافة من المحور للنقطة المنعكسة

---

✅ أمثلة محلولة - الانعكاس حول المحاور

#### المعطيات:

النقط: $A(2, 3)$، $B(-1, 4)$، $C(0, -2)$

#### قاعدة الانعكاس حول المحور السيني:

$(x, y) \rightarrow (x, -y)$

#### الحل:

• • انعكاس $A(2, 3)$: $A'(2, -3)$
• • انعكاس $B(-1, 4)$: $B'(-1, -4)$
• • انعكاس $C(0, -2)$: $C'(0, 2)$

#### التحقق:

• • المسافة من $A$ للمحور السيني = 3 وحدات
• • المسافة من $A'$ للمحور السيني = 3 وحدات ✅

#### المعطيات:

النقط: $P(5, 2)$، $Q(-3, -1)$، $R(4, 0)$

#### قاعدة الانعكاس حول المحور الصادي:

$(x, y) \rightarrow (-x, y)$

#### الحل:

• • انعكاس $P(5, 2)$: $P'(-5, 2)$
• • انعكاس $Q(-3, -1)$: $Q'(3, -1)$
• • انعكاس $R(4, 0)$: $R'(-4, 0)$

---

✅ مثال 3: الانعكاس حول خط مائل

انعكاس النقطة $A(1, 3)$ حول المستقيم $y = x$

#### قاعدة الانعكاس حول $y = x$:

$(x, y) \rightarrow (y, x)$

#### الحل:

انعكاس $A(1, 3)$: $A'(3, 1)$

#### التحقق الهندسي:

1. 1. نقطة المنتصف بين $A$ و $A'$: $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$
2. 2. هذه النقطة تقع على $y = x$ ✅
3. 3. الخط المار بـ $A$ و $A'$ عمودي على $y = x$ ✅

---

✅ انعكاس الأشكال الهندسية

#### مثال:

انعكاس القطعة $AB$ حيث $A(1, 2)$ و $B(4, 5)$ حول المحور السيني

#### الحل:

1. 1. انعكاس $A(1, 2)$: $A'(1, -2)$
2. 2. انعكاس $B(4, 5)$: $B'(4, -5)$
3. 3. القطعة المنعكسة: $A'B'$

#### خصائص مهمة:

• • طول القطعة الأصلية = طول القطعة المنعكسة
• • كلما بعدت القطعة عن المحور، كلما بعد انعكاسها أيضاً

---

#### مثال:

مثلث بالرؤوس: $A(1, 1)$، $B(3, 1)$، $C(2, 4)$

المطلوب: انعكاسه حول المحور الصادي

#### الحل:

1. 1. انعكاس $A(1, 1)$: $A'(-1, 1)$
2. 2. انعكاس $B(3, 1)$: $B'(-3, 1)$
3. 3. انعكاس $C(2, 4)$: $C'(-2, 4)$

#### المثلث المنعكس: $A'B'C'$

#### خصائص محفوظة:

• • المساحة نفسها
• • أطوال الأضلاع نفسها
• • قياسات الزوايا نفسها
• • الشكل نفسه (لكن معكوس)

---

✅ انعكاس الدوال

#### الدالة الأصلية:

$f(x) = x^2$

#### انعكاس حول المحور السيني:

النتيجة: $f'(x) = -x^2$ التفسير:

• • كل نقطة $(x, y)$ على الدالة الأصلية
• • تصبح $(x, -y)$ على الدالة المنعكسة
• • إذا كان $y = x^2$، فإن $-y = -x^2$

#### انعكاس حول المحور الصادي:

النتيجة: $f'(x) = (-x)^2 = x^2$ التفسير:

• • الدالة $f(x) = x^2$ متماثلة حول المحور الصادي
• • لذلك انعكاسها هو نفس الدالة الأصلية

---

✅ أمثلة متقدمة

#### المعطيات:

انعكاس النقطة $P(3, 2)$ حول المستقيم $x = 1$

#### الحل:

1. 1. المسافة الأفقية من $P$ إلى الخط: $|3 - 1| = 2$
2. 2. النقطة المنعكسة على بُعد 2 وحدة من الجهة الأخرى
3. 3. الإحداثي السيني للانعكاس: $1 - 2 = -1$
4. 4. الإحداثي الصادي يبقى كما هو: $2$

النتيجة: $P'(-1, 2)$

#### المعطيات:

انعكاس النقطة $Q(4, 5)$ حول المستقيم $y = 2$

#### الحل:

1. 1. المسافة العمودية من $Q$ إلى الخط: $|5 - 2| = 3$
2. 2. النقطة المنعكسة على بُعد 3 وحدات من الجهة الأخرى
3. 3. الإحداثي الصادي للانعكاس: $2 - 3 = -1$
4. 4. الإحداثي السيني يبقى كما هو: $4$

النتيجة: $Q'(4, -1)$

---

✅ جدول الصيغ المهمة

| محور الانعكاس | الصيغة | مثال |

|---------------|--------|-------|

| المحور السيني | $(x, y) \rightarrow (x, -y)$ | $(3, 2) \rightarrow (3, -2)$ |

| المحور الصادي | $(x, y) \rightarrow (-x, y)$ | $(3, 2) \rightarrow (-3, 2)$ |

| الخط $y = x$ | $(x, y) \rightarrow (y, x)$ | $(3, 2) \rightarrow (2, 3)$ |

| الخط $y = -x$ | $(x, y) \rightarrow (-y, -x)$ | $(3, 2) \rightarrow (-2, -3)$ |

| الخط $x = a$ | $(x, y) \rightarrow (2a - x, y)$ | حول $x = 1$: $(3, 2) \rightarrow (-1, 2)$ |

| الخط $y = b$ | $(x, y) \rightarrow (x, 2b - y)$ | حول $y = 1$: $(3, 2) \rightarrow (3, 0)$ |

---

✅ تمارين للحل

أوجد انعكاس النقط التالية حول المحور السيني:

• • $A(2, -3)$
• • $B(-1, 5)$
• • $C(0, 4)$

مثلث رؤوسه $P(1, 2)$، $Q(3, 4)$، $R(0, 6)$. أوجد إحداثيات المثلث بعد انعكاسه حول المحور الصادي.

أوجد معادلة الدالة الناتجة عن انعكاس $f(x) = 2x + 3$ حول:

• • المحور السيني
• • المحور الصادي

انعكس النقطة $M(5, 3)$ حول المستقيم $x = 2$، ثم انعكس الناتج حول المستقيم $y = 1$. ما هي الإحداثيات النهائية؟

---

✅ التطبيقات العملية

• • انعكاس الضوء في المرايا
• • انعكاس الصوت (الصدى)
• • انعكاس الأمواج في الماء

• • تصميم البصريات والعدسات
• • هندسة المباني والتماثل
• • الرسوم المتحركة والألعاب

• • دراسة التماثل في الأشكال
• • حل المعادلات الهندسية
• • تحليل الدوال وخصائصها

---

✅ الخلاصة

الانعكاس حول مستقيم تحويل هندسي مهم يتميز بـ:

1. 1. المحافظة على المسافات والأشكال
2. 2. تغيير الاتجاه فقط
3. 3. المستقيم يعمل كمرآة رياضية
4. 4. كل نقطة وانعكاسها متساويان في البُعد عن محور الانعكاس

فهم الانعكاس أساسي لدراسة التحويلات الهندسية الأخرى والتماثل في الرياضيات والطبيعة.e