نظرية ديموافر

• • لما نضرب عددين مركبين بصيغتهم القطبية:

$z_1 = R_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ $z_2 = R_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ $z_1 \cdot z_2 = R_1 R_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right)$ ✅ الحين نبدأ بالأسس (الأسس الصحيحة):

• • نضربه في نفسه:

$z^2 = \left( R (\cos \theta + i \sin \theta) \right)^2 = R^2 \left( \cos(2\theta) + i \sin(2\theta) \right)$ $z^3 = R^3 \left( \cos(3\theta) + i \sin(3\theta) \right)$

• • إذا كان عندنا عدد مركب بصيغته القطبية:

$z = R (\cos \theta + i \sin \theta)$

• • فإن:

$z^n = R^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)$ ✅ مثال تطبيقي:

عندنا عدد مركب:

$z = 7 (\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$

نبي نحسب:

$z^{15}$

1. 1. نرفع القيمة المطلقة للأس 15:

$7^{15}$

1. 2. نضرب الزاوية في 15:

$15 \cdot 30^\circ = 450^\circ$ $450^\circ = 360^\circ + 90^\circ$ $z^{15} = 7^{15} \left( \cos(450^\circ) + i \sin(450^\circ) \right)$ $\cos(450^\circ) = 0$ $\sin(450^\circ) = 1$

---

$z^{15} = 7^{15} \cdot i$

يعني الناتج عدد تخيلي نقي على المحور التخيلي الموجب.