جذور الدالة التربيعية والقيم القصوى

مقدمة عن الجذور

- الدالة التربيعية (أس 2): لها دائماً جذران

- الدالة التكعيبية (أس 3): لها ثلاثة جذور

- القاعدة العامة: درجة الدالة = عدد الجذور

> تعريف الجذر: الجذر هو النقطة التي تتقاطع فيها الدالة مع محور الـ x (حيث $y = 0$)

أنواع الجذور للدالة التربيعية

للدالة التربيعية $f(x) = ax^2 + bx + c$ ثلاث حالات ممكنة:

- الوصف: المنحنى يتقاطع مع محور x في نقطتين مختلفتين

- الشرط: $\Delta = b^2 - 4ac > 0$

- مثال: $f(x) = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

- الجذران: $x₁ = 2$, $x₂ = 3$

- الوصف: المنحنى يلمس محور x في نقطة واحدة فقط (رأس المنحنى)

- الشرط: $\Delta = b^2 - 4ac = 0$

- مثال: $f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

- الجذر المكرر: $x = 2$

- الوصف: المنحنى لا يتقاطع مع محور x أبداً

- الشرط: $\Delta = b^2 - 4ac < 0$

- حالتان فرعيتان:

- أ) يفتح لأعلى ورأسه فوق محور x

- ب) يفتح لأسفل ورأسه تحت محور x

- مثال: $f(x) = x^2 + 2x + 5$

- الجذران التخيليان: $x = -1 ± 2i$

المميز (Discriminant) - $\Delta$

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

| قيمة المميز | نوع الجذور | عدد الجذور الحقيقية |

|------------|------------|-------------------|

| $\Delta > 0$ | جذران حقيقيان مختلفان | 2 |

| $\Delta = 0$ | جذر واحد مكرر | 1 |

| $\Delta < 0$ | جذران تخيليان | 0 |

القيم القصوى للدالة التربيعية

إحداثيات رأس المنحنى للدالة $f(x) = ax^2 + bx + c$:

$$x_v = -\frac{b}{2a}$$ $$y_v = f(x_v) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$$

أو يمكن حسابها مباشرة:

$$y_v = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$$

#### عندما $a > 0$ (يفتح لأعلى):

- القيمة الصغرى: $y_{min} = y_v$ عند $x = x_v$

- لا توجد قيمة عظمى (الدالة تذهب إلى $+\infty$)

#### عندما $a < 0$ (يفتح لأسفل):

- القيمة العظمى: $y_{max} = y_v$ عند $x = x_v$

- لا توجد قيمة صغرى (الدالة تذهب إلى $-\infty$)

أمثلة تطبيقية

$f(x) = x^2 - 3x - 4$ الحل:

- $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$

- $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 > 0$

- الجذران: $x = \frac{3 ± \sqrt{25}}{2} = \frac{3 ± 5}{2}$

- $x₁ = 4$, $x₂ = -1$

- رأس المنحنى: $x_v = -\frac{-3}{2(1)} = 1.5$

- $y_v = f(1.5) = -6.25$ (قيمة صغرى)

$f(x) = x^2 - 6x + 9$ الحل:

- $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$

- $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$

- الجذر المكرر: $x = \frac{6}{2} = 3$

- رأس المنحنى: $(3, 0)$ (قيمة صغرى)

$f(x) = x^2 + 2x + 5$ الحل:

- $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$

- $\Delta = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$

- لا توجد جذور حقيقية

- رأس المنحنى: $x_v = -\frac{2}{2(1)} = -1$

- $y_v = f(-1) = 4$ (قيمة صغرى)

الخلاصة

1. 1. عدد الجذور يحدده المميز $\Delta = b^2 - 4ac$
2. 2. الجذور هي نقاط تقاطع المنحنى مع محور x
3. 3. رأس المنحنى يحدد القيمة القصوى (عظمى أو صغرى)
4. 4. اتجاه فتح المنحنى يحدده إشارة المعامل $a$
5. 5. القيم القصوى تكون دائماً عند رأس المنحنى