إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية

🎯 في هذا الدرس راح نتعلم: إكمال المربع (Completing the Square)

⸻

إعادة كتابة الدالة التربيعية من الشكل:

$$x^2 + bx + c$$

إلى الشكل:

$$(x + a)^2 + d$$

عشان نقدر نعرف خصائصها بسهولة، مثل الرأس (رأس القطع المكافئ)، أو نستخدمها في حل المعادلات.

⸻

نبي نعيد كتابة:

$$x^2 + 4x + 1$$

باستخدام إكمال المربع.

⸻

🧩 الخطوات:

⸻

🔹 الخطوة 1: ركّز على أول حدين

نبدأ من:

$$x^2 + 4x$$

نبي نحولهم إلى مربع كامل.

⸻

🔹 الخطوة 2: أضف واطرح نفس القيمة

خذ معامل x، قسمه على 2، ثم اربعه:

$$\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$$

نضيف +4 ونطرح -4 عشان ما نغير قيمة التعبير:

$$x^2 + 4x + 4 - 4 + 1$$

⸻

🔹 الخطوة 3: جمّع الحدود المناسبة

$$(x^2 + 4x + 4) - 4 + 1$$

الجزء الأول صار:

$$(x + 2)^2$$

والباقي:

$$-4 + 1 = -3$$

⸻

$$x^2 + 4x + 1 = (x + 2)^2 - 3$$

⸻

💡 ليش نستخدم إكمال المربع؟

• يساعدنا نعرف رأس المنحنى بسهولة:

• في المثال أعلاه، الرأس هو (-2, -3)

• نستخدمه في حل المعادلات التربيعية.

• أساس لطريقة إكمال المربع اللي نستخدمها لإيجاد الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية.