المستوى الأحداثي والمستوى القطبي

في هذا الدرس راح نتعلم الفرق ما بين المستوى الإحداثي والمستوى القطبي

• • وليش أساسًا نحتاج المستويات

✅ في المستوى الإحداثي: المرجع هو نقطة الأصل (0,0) ✅ في المستوى القطبي: المرجع هو القطب (النقطة (0,0) نفسها ولكن بتمثيل مختلف)

• • لازم يكون عندنا مرجع نقيس على أساسه المواقع

✅ في المستوى الإحداثي نحدد موقع أي نقطة بحسب:

* بعد النقطة الأفقي X

* بعد النقطة العمودي Y

✅ في المستوى القطبي نحدد موقع أي نقطة بحسب:

* البعد المباشر عن القطب R

* الزاوية θ من المحور القطبي

• • بناءً على هالكلام نقدر نستحدث أي نظام إحداثي طالما عندنا:

* نقطة مرجعية

* طريقة ثابتة لتحديد موقع أي نقطة نسبةً لها

✅ ليش احتجنا إلى المستوى القطبي حالنا نشتغل على المستوى الإحداثي؟

• • ناخذ معادلة الدائرة في المستويين:

* في المستوى الإحداثي: $x^2 + y^2 = R^2$

مثال: إذا نصف القطر = 2

$x^2 + y^2 = 4$

* في المستوى القطبي:

$R = 2$

• • نلاحظ أن معادلة الدائرة بسيطة جدًا في القطبي لكن معقدة نسبيًا في الإحداثي

✅ مثال آخر:

• • معادلة قطبية:

$R = \cos \theta$

لو حاولنا تحويلها للإحداثي بنحتاج:

$R = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

فتكون معادلة الإحداثي:

$\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

أو بعد تربيع وتبسيط تصبح:

$x^2 + y^2 = x$

وهي معادلة دائرة مائلة/منحرفة مركزها $\bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr)$ ونصف قطر $\tfrac{1}{2}$

✅ العكس: في كثير من الحالات الإحداثي أسهل بكثير من القطبي

• • مثال: دائرة مركزها $(2,3)$ ونصف قطر R

* في الإحداثي: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = R^2$

* في القطبي: نحتاج نعوّض $(x,y) = (R\cos\theta, R\sin\theta)$ ثم نحول، فيصير المعادلة معقدة وتحتاج جهد لتحويلها

✅ الخلاصة:

• • في حالات يكون فيها التعامل مع المعادلات الدائرية والحلزونية أنسب في المستوى القطبي
• • وفي حالات يكون فيها التعامل مع الدوال الجبرية والعمليات الهندسية أنسب في المستوى الإحداثي