الدوال المثلثية والزوايا المرجعية

🎯 في هذا الدرس راح نتكلم عن: الدوال المثلثية للزوايا

---

- نعرف من قبل إن الدوال المثلثية مثل:

$\sin(\theta),\ \cos(\theta)$

ترتبط دائمًا بالمثلث القائم الزاوية.

- تكون العلاقة:

- $\sin(\theta) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}$

- $\cos(\theta) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}}$

- لكن المثلث القائم الزاوية محصور فقط في الزوايا من $0^\circ$ إلى $90^\circ$

---

- الزوايا الحادة داخل المثلث ما تتعدى $90^\circ$

- ولو جمعنا زوايا أي مثلث، ما تتعدى $180^\circ$

- لكن إذا كتبنا في الآلة مثلاً:

$\cos(120^\circ)$ أو $\cos(3000^\circ)$ أو حتى $\cos(100{,}000^\circ)$

تطلع لنا قيمة عادية! 🤯

> لأن دوال $\sin$ و $\cos$ معرّفة على كل الأعداد الحقيقية

---

- الحل هو توسيع مفهوم الزاوية باستخدام:

- دائرة الوحدة (Unit Circle) أو

- تغيير اتجاهات المثلثات داخل الأرباع

---

✅ الأرباع والاتجاهات:

في المستوى الإحداثي، نحدد الزاوية وموقعها داخل أحد الأرباع الأربعة:

1. 1. الربع الأول:

- الزاوية من $0^\circ$ إلى $90^\circ$

- المثلث عادي، قائم الزاوية

- كل القيم موجبة

1. 2. الربع الثاني:

- الزاوية من $90^\circ$ إلى $180^\circ$

- الزاوية المرجعية:

$$\text{الزاوية المرجعية} = 180^\circ - \theta$$

1. 3. الربع الثالث:

- الزاوية من $180^\circ$ إلى $270^\circ$

- الزاوية المرجعية:

$$\text{الزاوية المرجعية} = \theta - 180^\circ$$

1. 4. الربع الرابع:

- الزاوية من $270^\circ$ إلى $360^\circ$

- الزاوية المرجعية:

$$\text{الزاوية المرجعية} = 360^\circ - \theta$$

---

✅ الزوايا الربعية (Quadrantal Angles):

وهي الزوايا اللي يكون ضلع النهاية فيها على محور $x$ أو $y$ مباشرة، مثل:

- $\theta = 0^\circ$

- $\theta = 90^\circ$

- $\theta = 180^\circ$

- $\theta = 270^\circ$

- $\theta = 360^\circ$ (نفس $0^\circ$)

---

- نقدر نحدد قيم $\sin$ و $\cos$ بسهولة:

- $\cos(\theta)$ مرتبط بإحداثي $x$

- $\sin(\theta)$ مرتبط بإحداثي $y$

| الزاوية | $\cos(\theta)$ | $\sin(\theta)$ |

|----------------|----------------|----------------|

| $0^\circ$ | 1 | 0 |

| $90^\circ$ | 0 | 1 |

| $180^\circ$ | -1 | 0 |

| $270^\circ$ | 0 | -1 |

| $360^\circ$ | 1 | 0 |

---

- عند $\theta = 0^\circ$ أو $180^\circ$:

$\sin(\theta) = 0$

- عند $\theta = 90^\circ$ أو $270^\circ$:

$\cos(\theta) = 0$

---

✅ الخلاصة:

- المثلث القائم يحدنا لزوايا من $0^\circ$ إلى $90^\circ$

- لكن باستخدام الاتجاهات ودائرة الوحدة:

- نقدر نعرف قيم $\sin$ و $\cos$ لأي زاوية

- الزاوية المرجعية تساعدنا نرجع الزاوية لأي مثلث داخل الربع

- الزوايا الربعية لها قيم واضحة ومباشرة بدون حسابات

---