دالة الكوتان

---

في هذا الدرس سنتعلم عن دالة الكوتان، وهي الدالة العكسية لدالة التان، أي:

$\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$

---

بما أن الكوتان هي مقلوب التان، نبدأ أولًا برسم دالة التان.

عند النقاط التي تكون فيها $\tan(\theta) = 0$، فإن:

$\cot(\theta) = \frac{1}{0} \to \infty$

والعكس أيضًا: إذا كانت $\tan(\theta) \to \infty$، فإن:

- $\cot(\theta) = \frac{1}{\infty} = 0$

---

نحدد النقاط التي تكون فيها $\tan(\theta) = 0$، ونجعل الكوتان تذهب إلى ما لا نهاية.

والنقاط التي تكون فيها $\tan(\theta)$ كبيرة جدًا (تقترب من ما لا نهاية)، نجعل الكوتان تساوي صفر.

الرسم الناتج يتكرر كل:

$180^\circ$

---

دالة الكوتان تُكرر نفسها كل $180^\circ$، وهو نفس طول دورة دالة التان:

$\cot(\theta + 180^\circ) = \cot(\theta)$

---

لا توجد سعة معرفة للكوتان (مثل التان)، لأنها تذهب إلى:

$+\infty$ و $-\infty$

---

مجال القيم الناتجة (المدى) لدالة الكوتان هو:

$\cot(\theta) \in \mathbb{R}$

---

يجب استثناء الزوايا التي تجعل $\tan(\theta) = 0$ لأن عندها:

$\cot(\theta) = \infty$ (غير معرفة)

هذه الزوايا تكون من الشكل:

$\theta = 180^\circ \cdot n$, حيث $n \in \mathbb{Z}$

وهي نفس النقاط التي تكون فيها $\tan(\theta) = 0$ مثل:

$0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, \dots$

---

في مجال التان، نستثني الزوايا التي فيها $\theta = 90^\circ + 180^\circ \cdot n$، لأن عندها:

$\cos(\theta) = 0$ → $\tan(\theta)$ غير معرفة

لكن في مجال الكوتان، نستثني الزوايا التي تجعل:

$\sin(\theta) = 0$ → لأن $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{1}{0}$ غير معرفة

وعند الزاوية $90^\circ$ مثلًا:

$\tan(90^\circ) \to \infty$

وبالتالي $\cot(90^\circ) = \frac{1}{\infty} = 0$

→ إذن الكوتان معرفة عند $90^\circ$ وتساوي صفر.

---