الاحتمال المشروط

في هذا الدرس راح نتعلم الاحتمال المشروط

• • القانون هو:

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

• • البسط هو احتمال تقاطع الحدثين، يعني:

$P(A \cap B)$

• • والمقام هو احتمال الحدث المعروف (A):

$P(A)$

• • دائمًا:

* الحدث المعلوم هو A

* الحدث المطلوب هو B

• • الشرط الأساسي: الحدثين لازم يكونون مرتبطين (يعني غير مستقلين)، عشان يصير للتقاطع معنى

✅ معلومة مهمة:

• • لو كانت A ما تؤثر على B، أو ما بينهم علاقة، يكونوا مستقلين، وهنا الاحتمال المشروط ما له فائدة
• • لكن إذا كان A يؤثر على B، فالاحتمال المشروط يعطينا معلومات أكثر دقة

✅ مثال توضيحي:

• • عندنا وعاء فيه 4 كور:

* كورتين صغيرة: لونهم أصفر وأخضر

* كورتين كبيرة: لونهم أحمر وأزرق

أولًا: احتمال غير مشروط:

• • نبغى نعرف احتمال سحب الكورة الزرقاء:

$P(\text{زرقاء}) = \frac{1}{4}$

لأن فيه وحدة زرقاء فقط من بين 4 كور

ثانيًا: احتمال مشروط:

• • نبغى نحسب:

ما هو احتمال أن نسحب الكورة الزرقاء "علماً بأن" الكورة كبيرة؟ $P(\text{زرقاء} \mid \text{كبيرة}) = \frac{P(\text{زرقاء} \cap \text{كبيرة})}{P(\text{كبيرة})}$

• • الكورة تكون زرقاء وكبيرة، وهذا ينطبق على كورة وحدة فقط من أصل 4:

$P(\text{زرقاء} \cap \text{كبيرة}) = \frac{1}{4}$

• • عندنا كورتين كبار من أصل 4:

$P(\text{كبيرة}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $P(\text{زرقاء} \mid \text{كبيرة}) = \frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{2}$