تمثيل الأعداد المركبة في الإحداثيات الديكارتية والقطبية

• • نعلم أن $i = \sqrt{-1}$
• • بالتالي: $i \times i = -1$

✅ تمثيل الأعداد على خط الأعداد المعتاد:

1. 1. نرسم خطًا أفقيًا بحيث:

* الصفر (0) في المنتصف.

* الأعداد الموجبة إلى اليمين.

* الأعداد السالبة إلى اليسار.

1. 2. إذا ضربنا أي عدد حقيقي في $i$ مرّتين، فإنّ ذلك يعادل الدوران بمقدار $180^\circ$ لأنّ $i^2 = -1$ (أي الانتقال من الجهة اليمنى إلى الجهة اليسرى).
2. 3. إذا ضربنا العدد في $i$ مرة واحدة فقط، فهذا يعادل دورانًا بمقدار $90^\circ$.

✅ إضافة المحور التخيلي (محور $y$) إلى خط الأعداد:

• • نرسم محورًا عموديًا يمرّ بنقطة الصفر، فيصبح لدينا نظام الإحداثيات الديكارتي:

* المحور الأفقي ($x$) → يمثل الأعداد الحقيقية.

* المحور العمودي ($y$) → يمثل الأعداد التخيليّة.

• • عندها:

* $i$ يُمثّل دورانًا بزاوية $90^\circ$ من المحور الحقيقي نحو الأعلى.

* $-1$ (أي $i \times i$) يُمثّل دورانًا بزاوية $180^\circ$ إلى الجهة اليسرى.

✅ مفهوم الأعداد المركّبة:

1. 1. تعريفها:

* الأعداد المركبة هي أعداد تتكوّن من جزأين:

* جزء حقيقي $x$ (مثل: $2$، $-3$، $4$، …).

* جزء تخيلي $y$ مضروب في $i$ (مثل: $i$، $2i$، $-3i$، …).

* نمثّل العدد المركّب في المستوى الديكارتي كنقطة $(x,\,y)$.

1. 2. أمثلة على الأعداد المركّبة:

* إذا كانت النقطة $(2,\,3)$، فإنّ العدد هو $2 + 3i.$

* إذا كانت النقطة $(-2,\,-3)$، فإنّ العدد هو $-2 - 3i.$

1. 3. الفئات ضمن المستوى:

* المحور الأفقي (حيث $y=0$) يحتوي على الأعداد الحقيقية الخالصة، مثل $2$، $-4$.

* المحور العمودي (حيث $x=0$) يحتوي على الأعداد التخيليّة الخالصة، مثل $i$، $-2i$.

* النقاط غير الواقعة على المحاور هي أعداد مركّبة أصلًا (لها جزآن حقيقي وتخيلي معًا).

✅ التحويل من الصيغة “الديكارتية” إلى الصيغة “القطبية”:

1. 4. إذا كان لدينا العدد المركب $z = x + yi,$ فإننا في الصيغة الديكارتية نمثّله كـ $(x,\,y)$.
2. 5. نحسب القيمة المطلقة $|z|$ (التي تمثّل “المسافة” من نقطة $(x,\,y)$ إلى الصفر): $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$
3. 6. نحسب الزاوية $\theta$ (مقاسة بالدّرجات أو بالراديان) بين القطعة الواصل بين $(0,0)$ و$(x,y)$ والمحور الأفقي:

* إذا كان $x > 0$ (ربع أول أو رابع)، فإنّ: $\theta = \tan^{-1}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr).$

* إذا كان $x < 0$ (ربع ثاني أو ثالث)، نضيف $180^\circ$ إلى القيمة السابقة: $\theta = \tan^{-1}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) + 180^\circ.$

1. 7. عندها يصبح ثابتًا أن أي عدد مركّب يُمكن كتابته بالصورة القطبية: $z = |z|\;\bigl(\cos \theta + i\,\sin \theta\bigr).$

✅ لماذا نستخدم الصيغة القطبية للأعداد المركّبة؟

• • تسهّل عمليات الضرب والقسمة:

1. إذا كان $z_1 = r_1\bigl(\cos\alpha + i\sin\alpha\bigr), \quad z_2 = r_2\bigl(\cos\beta + i\sin\beta\bigr),$ فإن: $z_1 \times z_2 = r_1\,r_2 \bigl(\cos(\alpha + \beta) + i\,\sin(\alpha + \beta)\bigr)$ $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \bigl(\cos(\alpha - \beta) + i\,\sin(\alpha - \beta)\bigr)$

2. يعني عند الضرب؛ “نضرب القيم المطلقة ثم نجمع الزوايا”. وعند القسمة؛ “نقسم القيم المطلقة ثم نطرح الزوايا”.

• • تُسهل أيضًا رفع القوى العليا (نظرية ديمواهفر):

إذا $z = r\;\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),$ فإنّ $z^n = r^n\;\bigl(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\bigr).$